É IMPORTANTE RESSALTAR QUE O SDCTIE GRACELI  É UM SISTEMA QUE SE ENCAIXA EM TEORIAS DO PRESENTE, PASSADO E SE ENCAIXARÁ NAS DO FUTURO.

TERCEIRA QUANTIZAÇÃO PELO SDCTIE GRACELI

TRANS-QUÂNTICA SDCTIE GRACELI, TRANSCENDENTE, RELATIVISTA SDCTIE GRACELI, E TRANS-INDETERMINADA.

FUNDAMENTA-SE EM QUE TODA FORMA DE REALIDADE SE ENCONTRA EM TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES, TRANSIÇÕES DE ESTADOS [ESTADOS DE GRACELI], ENERGIAS E FENÔMENOS DENTRO DE UM SISTEMA DE DEZ OU MAIS DIMENSÕES DE GRACELI, E CATEGORIAS DE GRACELI.

FUNÇÃO GERAL GRACELI DA TRANS- INDETERMINALIDADE PELO SDCTIE GRACELI

FUNÇÃO FUNDAMENTAL E GERAL DO SISTEMA [SDCTIE GRACELI] DE  INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES EM CADEIAS, DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.  E DE ESTADOS TRANSICIONAIS =

TRANSFORMAÇÕES ⇔ INTERAÇÕES  ⇔  TUNELAMENTO ⇔ EMARANHAMENTO ⇔ CONDUTIVIDADE  ⇔ DIFRAÇÕES ⇔ estrutura eletrônica, spin, radioatividade, ABSORÇÕES E EMISSÕES INTERNA ⇔  Δ de temperatura e dinâmicas, transições de estados quântico Δ ENERGIAS,  ⇔   Δ MASSA ,   ⇔ Δ  CAMADAS ORBITAIS ,  ⇔  Δ FENÔMENOS  ,  ⇔  Δ  DINÂMICAS,   ⇔  Δ  VALÊNCIAS,   ⇔  Δ BANDAS,  Δ  entropia e de entalpia,  E OUTROS.  

x

 [EQUAÇÃO DE DIRAC].

 + FUNÇÃO TÉRMICA.

   +    FUNÇÃO DE RADIOATIVIDADE

  ,      +   FUNÇÃO DE TUNELAMENTO QUÂNTICO.

  + ENTROPIA REVERSÍVEL 

+      FUNÇÃO DE CONDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA

 ENERGIA DE PLANCK

X

• 
  V [R] [MA] =  Δe,M, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......

  ΤDCG

  X

  Δe, ΔM, Δf, ΔE, Δt, Δi, ΔT, ΔC, ΔE,ΔA, ΔD, ΔM......  =
  x
  

  sistema de dez dimensões de Graceli + 

  DIMENSÕES EXTRAS DO SISTEMA DECADIMENSIONAL E CATEGORIAL GRACELI.[como, spins, posicionamento, afastamento, ESTRUTURA ELETRÔNICA, e outras já relacionadas]..
• 
  
• DIMENSÕES DE FASES DE ESTADOS DE TRANSIÇÕES DE GRACELI.
  

  x

  sistema de transições de estados, e estados  de Graceli, fluxos aleatórios quântico, potencial entrópico e de entalpia. [estados de transições de fases de estados de estruturas, quântico, fenomênico, de energias, e dimensional [sistema de estados de Graceli].

  x

número atômico, estrutura eletrônica, níveis de energia 

[comprimento de onda (λ).

onde c, velocidade da luz, é igual a .]

X

• TEMPO ESPECÍFICO E FENOMÊNICO DE GRACELI.
• X
• CATEGORIAS DE GRACELI
• T l    T l     E l       Fl         dfG l   

  N l    El                 tf l

  P l    Ml                 tfefel 

  Ta l   Rl

           Ll
           D

X

 [ESTADO QUÂNTICO]

x

TODA E QUALQUER FORMA DE FUNÇÃO E EQUAÇÃO EM:

Sistema de partículas em interação

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Na teoria da probabilidade, um sistema de partículas em interação (IPS) é um processo estocástico ${\displaystyle (X(t))_{t\in \mathbb {R} ^{+}}}$ em algum espaço de configuração ${\displaystyle \Omega =S^{G}}$ dado por um espaço de sítio, um grafo infinito contável ${\displaystyle G}$ e um espaço de estado local, um espaço métrico compacto ${\displaystyle S}$.^[1] Mais precisamente, IPSs são processos de Marvok de tempo contínuo que descrevem o comportamento coletivo de componentes estocasticamente em interação. IPSs são os análogo de tempo contínuo dos autômatos celulares estocásticos. Entre os principais exemplos são o modelo de eleições, o processo de contato, o processo de exclusão simples  assimétrico (PESA), a dinâmica de Glauber e, em particular, o modelo Ising estocástico.^[2]

IPS são geralmente definidos através de seus geradores de Markov dando origem a um processo de Markov único utilizando semigrupos de Markov e o teorema de Hille-Yosida. Novamente o gerador é dada através das denominadas taxas de transição ${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta ,\xi )>0}$ onde ${\displaystyle \Lambda \subset G}$ é um conjunto finito de sítios e ${\displaystyle \eta ,\xi \in \Omega }$ com ${\displaystyle \eta _{i}=\xi _{i}}$ para todo ${\displaystyle i\notin \Lambda }$. As taxas descrevem tempos de espera exponenciais do processo para saltar da configuração ${\displaystyle \eta }$ para a configuração ${\displaystyle \xi }$. Geralmente, as taxas de transição são dadas na forma de uma medida finita ${\displaystyle c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )}$ em ${\displaystyle S^{\Lambda }}$.

O gerador ${\displaystyle L}$ de um IPS tem a seguinte forma: primeiro, o domínio de ${\displaystyle L}$ é um subconjunto do espaço de "observáveis", isto é, o conjunto de valores reais de funções contínuas no espaço de configuração ${\displaystyle \Omega }$. Em seguida, para qualquer ${\displaystyle f}$ observável no domínio de ${\displaystyle L}$, tem-se

${\displaystyle Lf(\eta )=\sum _{\Lambda }\int _{\xi :\xi _{\Lambda ^{c}}=\eta _{\Lambda ^{c}}}c_{\Lambda }(\eta ,d\xi )[f(\xi )-f(\eta )]}$

x

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Por exemplo, para o modelo Ising estocástico temos ${\displaystyle G=\mathbb {Z} ^{d}}$, ${\displaystyle S=\{-1,+1\}}$, ${\displaystyle c_{\Lambda }=0}$ se ${\displaystyle \Lambda \neq \{i\}}$ para alguns ${\displaystyle i\in G}$ e

${\displaystyle c_{i}(\eta ,\eta ^{i})=\exp[-\beta \sum _{j:|j-i|=1}\eta _{i}\eta _{j}]}$

x

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onde ${\displaystyle \eta ^{i}}$ é a configuração igual a ${\displaystyle \eta }$ exceto que ela é invertida no sítio ${\displaystyle i}$. é um novo parâmetro modelando a temperatura inversa.

Teorema de Donsker

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Em teoria da probabilidade, o teorema de Donsker (também conhecido como princípio da invariância de Donsker, ou teorema central do limite funcional), em homenagem ao matemático Monroe D. Donsker, é uma extensão funcional do teorema central do limite.^[1]

Índice

• 1Definição formal
• 2História
• 3Veja também
• 4Referências

Definição formal

Seja ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$ uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (i.i.d.) com média 0 e variância 1. Seja ${\displaystyle S_{n}:=\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$. O processo estocástico 

${\displaystyle S:=(S_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$x

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 é conhecido como um passeio aleatório. Definindo o passeio aleatório escalado por

${\displaystyle W^{(n)}(t):={\frac {S_{\lfloor nt\rfloor }}{\sqrt {n}}},\qquad t\in [0,1].}$

x

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O teorema central do limite afirma que ${\displaystyle W^{(n)}(1)}$ converge em distribuição para uma variável aleatória gaussiana padrão ${\displaystyle W(1)}$ conforme ${\displaystyle n\to \infty }$. O princípio da invariância de Donsker^[1][2] extende essa convergência para toda a função ${\displaystyle W^{(n)}:=(W^{(n)}(t))_{t\in [0,1]}}$. Mais precisamente, em sua forma moderna, o princípio da invariância de Donsker afirma que: com variáveis aleatórias tomando valores no espaço de Skorokhod ${\displaystyle {\mathcal {D}}[0,1]}$, a função aleatória ${\displaystyle W^{(n)}}$ converge em distribuição para um movimento browniano padrão ${\displaystyle W:=(W(t))_{t\in [0,1]}}$ conforme ${\displaystyle n\to \infty .}$

Seja ${\displaystyle F_{n}}$ a função distribuição empírica da sequência das variáveis aleatórias i.i.d. ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\ldots }$ com função de distribuição ${\displaystyle F}$. Definindo a versão centrada e reduzida de ${\displaystyle F_{n}}$ por

${\displaystyle G_{n}(x)={\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))\,}$

x

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indexadas por ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$. Pelo teorema central do limite clássico, para ${\displaystyle x}$ fixo, a variável aleatória ${\displaystyle G_{n}(x)}$ converge em distribuição para uma variável aleatória gaussiana normal ${\displaystyle G(x)}$, com média zero e variância de ${\displaystyle F(x)(1-(F(x))}$ conforme o tamanho da amostra ${\displaystyle n}$ cresce.

Teorema (Donsker, Skorokhod, Kolmogorov) — A sequência de G_n(x), como elementos aleatórios do espaço de Skorokhod ${\displaystyle {\mathcal {D}}(-\infty ,\infty )}$, converge em distribuição para um processo gaussiano G com média zero e covariância dada por

${\displaystyle \operatorname {cov} [G(s),G(t)]=E[G(s)G(t)]=\min\{F(s),F(t)\}-F(s)F(t).\,}$

x

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O processo ${\displaystyle G(x)}$ pode ser escrito como ${\displaystyle B(F(x))}$, onde ${\displaystyle B}$ é uma ponte browniana padrão no intervalo unitário.

Em matemática, a variação quadrática é usada na análise de processos estocásticos, como o movimento browniano e outros martingales. A variação quadrática é só mais um tipo de variação de um processo.

Índice

• 1Definição
• 2Processos de variação finita
• 3Processos de Itō
• 4Semimartingales
• 5Martingales
• 6Ver também
• 7Referências

Definição

Suponha que ${\displaystyle X_{t}}$ é um processo estocástico de valores reais definido em um espaço de probabilidade ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ e com um índice de tempo ${\displaystyle t}$ que varia entre os números reais não-negativos. Sua variação quadrática é o processo, escrito como ${\displaystyle [X]_{t}}$, definido como

${\displaystyle [X]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}}$

em que ${\displaystyle P}$ varia entre as partições do intervalo ${\displaystyle [0,t]}$ e a norma da partição ${\displaystyle P}$P é a malha. Este limite, se existe, é definido usando a convergência de variáveis aleatórias. Note que um processo pode ser de variação quadrática finita no sentido da definição dada aqui e seus caminhos podem ser, não obstante, quase certamente de variação quadrática infinita para todo ${\displaystyle t>0}$ no sentido clássico de tomar o supremo da soma de todas as partições; este é particularmente o caso do movimento browniano.

Mais geralmente, a covariância (ou variância cruzada) de dois processos ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ é

${\displaystyle [X,Y]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \to 0}\sum _{k=1}^{n}\left(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}}\right).}$

A covariância pode ser escrita em termos de variação quadrática pela identidade de polarização:

${\displaystyle [X,Y]_{t}={\tfrac {1}{4}}([X+Y]_{t}-[X-Y]_{t}).}$^[1]

Processos de variação finita

Diz-se que um processo ${\displaystyle X}$ tem variação finita se tiver variação limitada para cada intervalo de tempo finito (com probabilidade 1). Tais processos são muito comuns e incluem, particularmente, todas as funções continuamente diferenciáveis. A variação quadrática existe para todos os processos de variação contínua e finita e é zero.

Esta afirmação pode ser generalizada a processos não-contínuos. Qualquer processo de variação finita càdlàg ${\displaystyle X}$ tem variação quadrática igual à soma dos quadrados dos saltos de ${\displaystyle X}$. Para afirmar isto mais precisamente, o limite à esquerda de ${\displaystyle X_{t}}$ referente a ${\displaystyle t}$ é denotado por ${\displaystyle X_{t-}}$ e o salto de ${\displaystyle X}$ no tempo ${\displaystyle t}$ pode ser escrito como ${\displaystyle \Delta X_{t}=X_{t}-X_{t-}}$. Então, a variação quadrática é dada por

${\displaystyle [X]_{t}=\sum _{0<s\leq t}(\Delta X_{s})^{2}.}$

A prova de que processos de variação finita e contínua têm variação quadrática zero segue da seguinte desigualdade. Aqui, ${\displaystyle P}$ é uma partição do intervalo ${\displaystyle [0,t]}$ e ${\displaystyle V_{t}(X)}$ é a variação de ${\displaystyle X}$ sobre ${\displaystyle [0,t]}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}&\leq \max _{k\leq n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\sum _{k=1}^{n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\\&\leq \max _{|u-v|\leq \Vert P\Vert }|X_{u}-X_{v}|V_{t}(X).\end{aligned}}}$

Pela continuidade de ${\displaystyle X}$, este desaparece no limite conforme ${\displaystyle \Vert P\Vert }$ vai a zero.

Processos de Itō

A variação quadrática de um movimento browniano padrão ${\displaystyle B}$ existe e é dada por ${\displaystyle [B]_{t}=t}$. Isto se generaliza a processos de Itō que, por definição, podem ser expressos em termos de integrais de Itō

${\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds,}$

em que ${\displaystyle B}$ é um movimento browniano. Qualquer processo como tal tem variação quadrática dada por

${\displaystyle [X]_{t}=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\,ds.}$

Semimartingales

É possível mostrar que variações e covariâncias quadráticas de todos os semimartingales existem. Eles formam uma parte importante da teoria do cálculo estocástico, aparecendo no lema de Itō, que é a generalização da regra da cadeia da integral de Itō. A covariância quadrática também aparece na fórmula de integração por partes.

${\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t},}$

que pode ser usada para computar ${\displaystyle [X,Y]}$.

De outra forma, isto pode ser escrito como uma equação diferencial estocástica:

${\displaystyle \,d(X_{t}Y_{t})=X_{t-}\,dY_{t}+Y_{t-}\,dX_{t}+\,dX_{t}\,dY_{t},}$

em que${\displaystyle \,dX_{t}\,dY_{t}=\,d[X,Y]_{t}.}$

Martingales

Todos os martingales càdlàg e martingales locais têm variação quadrática bem definida, que segue do fato de que tais processos são exemplos de semimartingales. Pode ser mostrado que a variação quadrática ${\displaystyle [M]}$ de um martingale localmente quadrado integrável é o único processo contínuo à direita e crescente a partir de zero, com saltos ${\displaystyle \Delta [M]=\Delta M^{2}}$, tal que ${\displaystyle M^{2}-[M]}$ é um martingale local. Uma prova da existência de ${\displaystyle [M]}$ (sem uso de cálculo estocástico) é dada em Karandikar-Rao.^[2]

Um resultado útil para martingales quadrado integráveis é a isometria de Itō, que pode ser usada para calcular a variância de integrais de Itō,

${\displaystyle \mathbb {E} \left(\left(\int _{0}^{t}H\,dM\right)^{2}\right)=\mathbb {E} \left(\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right).}$

Este resultado se mantém sempre que ${\displaystyle M}$ for um martingale quadrado integrável càdlàg e ${\displaystyle H}$ for um processo previsível limitado, sendo frequentemente usado na construção da integral de Itō.

Outro importante resultado é a desigualdade de Burkholder-Davis-Gundy, que dá limites ao máximo de um martingale nos termos da variação quadrática. Para um martingale local ${\displaystyle M}$ começando em zero, com máximo denotado por ${\textstyle M_{t}^{*}\equiv \sup _{s\leq t}|M_{s}|}$ e qualquer número real ${\displaystyle p\geq 1}$, a desigualdade é

${\displaystyle c_{p}\mathbb {E} ([M]_{t}^{p/2})\leq \mathbb {E} ((M_{t}^{*})^{p})\leq C_{p}\mathbb {E} ([M]_{t}^{p/2}).}$

Aqui, ${\displaystyle c_{p}<C_{p}}$ são constantes que dependem da escolha de ${\displaystyle p}$, mas não do martingale ${\displaystyle M}$ ou do tempo ${\displaystyle t}$ usado. Se ${\displaystyle M}$ for um martingale local contínuo, então a desigualdade de Burkholder-Davis-Gundy se mantém para qualquer ${\displaystyle p>0}$.

Um processo alternativo, a variação quadrática previsível, é usado às vezes para martingales localmente quadrado integráveis. É escrita como ${\displaystyle {\langle M\rangle }_{t}}$ e definida como sendo o único processo previsível contínuo à direita e crescente a partir de zero, tal que ${\displaystyle M^{2}-\langle M\rangle }$ é um martingale local. Sua existência segue do teorema da decomposição de Doob-Meyer e, para martingales locais contínuos, é igual à variação quadrática.

Processo empírico

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Em teoria das probabilidades, um processo empírico é um processo estocástico que descreve a proporção de objetos em um sistema em um dado estado. Para um processo em um espaço de estados discreto, uma cadeia de Markov populacional de tempo contínuo^[1][2] ou modelo populacional de Markov^[3] é um processo que conta o número de objetos em um dado estado (sem reescalonamento). Na teoria de campo médio, teoremas do limite (conforme o número de objetos se torna grande) são considerados e generalizam o teorema central do limite para medidas empíricas.^[4] Aplicações da teoria dos processos empíricos surgem na estatística não paramétrica.^[5]

Definição

Para variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas ${\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}}$ em ${\displaystyle \mathbb {R} }$ com função distribuição acumulada comum ${\displaystyle F(x)}$, a função distribuição empírica é definida por:

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}I_{(-\infty ,x]}(X_{i}),}$

em que ${\displaystyle I_{C}}$ é a função indicadora do conjunto ${\displaystyle C}$.^[6]

Para todo ${\displaystyle x}$ fixo, ${\displaystyle F_{n}(x)}$ é uma sequência de variáveis aleatórias que converge a ${\displaystyle F(x)}$ quase certamente pela lei forte dos grandes números, isto é, ${\displaystyle F_{n}}$ converge pontualmente a ${\displaystyle F}$. O matemático ucraniano Valery Glivenko e o matemático italiano Francesco Paolo Cantelli fortaleceram este resultado ao provar a convergência uniforme de ${\displaystyle F_{n}}$ a ${\displaystyle F}$ pelo teorema de Glivenko–Cantelli.^[7]

Uma versão centralizada e escalonada da medida empírica é a medida sinalizada:

${\displaystyle G_{n}(A)={\sqrt {n}}(P_{n}(A)-P(A)).}$

Isto induz um mapa sobre as funções mensuráveis ${\displaystyle f}$ dado por:

${\displaystyle f\mapsto G_{n}f={\sqrt {n}}(P_{n}-P)f={\sqrt {n}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}f(X_{i})-\mathbb {E} f\right).}$

Pelo teorema central do limite, ${\displaystyle G_{n}(A)}$ converge em distribuição a uma variável aleatória normal ${\displaystyle N(0,P(A)(1-P(A)))}$ para um conjunto mensurável fixo ${\displaystyle A}$.^[8] De forma semelhante, para uma função fixa ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle G_{n}f}$ converge em distribuição a uma variável aleatória normal ${\displaystyle N(0,\mathbb {E} (f-\mathbb {E} f)^{2})}$, desde que ${\displaystyle \mathbb {E} f}$ e ${\displaystyle \mathbb {E} f^{2}}$.^[9]

${\displaystyle {\bigl (}G_{n}(c){\bigr )}_{c\in {\mathcal {C}}}}$ é um processo empírico indexado por ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, uma coleção de subconjuntos mensuráveis de ${\displaystyle S}$.^[10]

${\displaystyle {\bigl (}G_{n}f{\bigr )}_{f\in {\mathcal {F}}}}$ é um processo empírico indexado por ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, uma coleção de funções mensuráveis de ${\displaystyle S}$ a ${\displaystyle \mathbb {R} }$.^[11]

Um resultado significante na área dos processos empíricos é o teorema de Donsker. Isto levou a um estudo das classes de Donsker: conjuntos de funções com a útil propriedade de processo empíricos indexados por estas classes que convergem fracamente a um certo processo gaussiano.^[12] Ainda que se possa mostrar que classes de Donsker são classes de Glivenko–Cantelli, o contrário não é verdadeiro em geral.

Exemplo

Como um exemplo, considere funções distribuição empírica. Para variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas de valores reais ${\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}}$, elas são dadas por:

${\displaystyle F_{n}(x)=P_{n}((-\infty ,x])=P_{n}I_{(-\infty ,x]}.}$

Neste caso, processos empíricos são indexados por uma classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{(-\infty ,x]:x\in \mathbb {R} \}.}$. Mostrou-se que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ é uma classe de Donsker em particular.^[13]

${\displaystyle {\sqrt {n}}(F_{n}(x)-F(x))}$ converge fracamente em ${\displaystyle \ell ^{\infty }(\mathbb {R} )}$ a uma ponte browniana ${\displaystyle B(F(x))}$.

Em probabilidade aplicada, um processo regenerativo é uma classe de processos estocásticos com a propriedade de que certas porções do processo podem ser tratadas como estatisticamente independentes umas das outras.^[2] Esta propriedade pode ser usada na derivação de propriedades teóricas de tais processos.

Índice

• 1Histórico
• 2Definição
• 3Exemplos
• 4Propriedades
• 5Referências

Histórico

Processos regenerativos foram definidos pela primeira vez pelo matemático britânico radicado nos Estados Unidos Walter L. Smith na Proceedings of the Royal Society A em 1955.^[3][4]

Definição

Um processo regenerativo é um processo estocástico com pontos de tempo nos quais, a partir de um ponto de vista probabilístico, o processo se reinicia.^[5] Estes pontos de tempo podem ser eles próprios determinados pela evolução do processo. Isto equivale a dizer que o processo ${\displaystyle \{X(t),t\geq 0\}}$ é um processo regenerativo se existirem pontos de tempo ${\displaystyle 0\leq T_{0}<T_{1}<T_{2}<...}$, tal que o processo pós-${\displaystyle T_{k}}$ ${\displaystyle \{X(T_{k}+t):t\geq 0\}}$:

• tem a mesma distribuição do processo pós-${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle \{X(T_{0}+t):t\geq 0\}}$;
• é independente do processo pré-${\displaystyle T_{k}}$ ${\displaystyle \{X(t):0\leq t<T_{k}\}}$.

para ${\displaystyle k\geq 1}$.^[6] Intuitivamente, isto significa que um processo regenerativo pode ser dividido em ciclos independentes e identicamente distribuídos.^[7]

Quando ${\displaystyle T_{0}=0}$, ${\displaystyle X(t)}$ é chamado de processo regenerativo não atrasado. De outro modo, o processo é chamado de processo regenerativo atrasado.^[6]

Exemplos

• Processos de renovação são processos regenerativos, sendo ${\displaystyle T_{1}}$ a primeira renovação.^[5]
• Processos de renovação alternantes, em que um sistema alterna entre um estado "ativo" e um estado "inativo", são processos regenerativos.^[5]
• Uma cadeia de Markov recorrente é um processo regenerativo, sendo ${\displaystyle T_{1}}$ o tempo da primeira recorrência.^[5] Isto inclui as cadeias de Harris.
• O movimento browniano refletido, em que se mede o tempo que as partículas levam para partir e voltar, é um processo regenerativo.^[7]

Propriedades

• Pelo teorema da renovação com recompensa, com probabilidade 1,

  ${\displaystyle \lim _{t\to \infty }{\frac {1}{t}}\int _{0}^{t}X(s)ds={\frac {\mathbb {E} [R]}{\mathbb {E} [\tau ]}},}$

em que ${\displaystyle \tau }$ é o comprimento do primeiro ciclo e ${\displaystyle R=\int _{0}^{\tau }X(s)ds}$ é o valor sobre o primeiro ciclo.^[8]

• Uma função mensurável de um processo regenerativo é um processo regenerativo com o mesmo tempo de regeneração.^[8]

Dado um espaço de probabilidade ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ e um espaço mensurável ${\displaystyle (S,\Sigma )}$, um processo estocástico de valor S é um conjunto de variáveis aleatórias de valor S em ${\displaystyle \Omega }$, indexadas por um conjunto totalmente ordenado T ("tempo"). Isto é, um processo estocástico X é um conjunto

${\displaystyle \{X_{t}:t\in T\}}$

onde cada ${\displaystyle X_{t}}$ é uma variável de aleatória de valor S em ${\displaystyle \Omega }$. O espaço S é então chamado de espaço de estados do processo.

Distribuições de dimensões finitas

Seja X um processo estocástico de valor S. Para cada sequência finita de ${\displaystyle T'=(t_{1},\ldots ,t_{k})\in T^{k}}$, o k-ésimo ${\displaystyle X_{T'}=(X_{t_{1}},X_{t_{2}},\ldots ,X_{t_{k}})}$ é uma variável aleatória tendo valores em ${\displaystyle S^{k}}$. A distribuição ${\displaystyle \mathbb {P} _{T'}(\cdot )=\mathbb {P} (X_{T'}^{-1}(\cdot ))}$ dessa variável aleatória é uma probabilidade medida em ${\displaystyle S^{k}}$. Isso é chamado uma distribuição finita de X. Sob restrições topológicas adequadas, uma coleção “consistente” de distribuições de dimensões finitas pode ser usada para definir um processo estocástico.